KEKONTINUAN FUNGSI

Berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), arti kata kontinu adalah berkesinambungan; berkelanjutan dan terus-menerus. Jadi maksud kontinu itu tidak terputus. Fungsi kontinu dalam matematika merupakan fungsi, yang jika di jelaskan secara intuitif, perubahan kecil dalam masukannya berakibat perubahan kecil pula pada keluaran.

 DEFINISI KEKONTINUAN FUNGSI

Fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Fungsi f dikatakan kontinu di c jika limit 

Kali ini kita akan mempelajari Penerapan Limit lainnya yaitu Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi. Fungsi f(x) dikatakan Kontinu pada suatu titik x = a  jika :

• f(a) ada
•  ada
• 

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan Tidak Kontinu di x = a.

Keterangan: 

• f(a) ada, maksudnya nilai fungsinya terdefinisi di x = a (bisa dihitung).
•  ada, maksudnya besar limit kiri dan limit kananya adalah sama.
• , maksudnya nilai limit dan fungsinya sama.

CONTOH

Misalkan f suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

Jawab:

Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 3

Limit Kiri:

Limit Kanan:

Ternyata nilai limit kirinya sama dengan limit kanannya, yaitu 4.

Kita Simpulkan bahwa :

 ada

dan

Langkah 2: Memeriksa apakah f terdefinisi di x = 3

Dari pendefinisian f, f (3) terdefinisi, yaitu f (3) = 2

Langkah 3: Memeriksa kesamaan nilai limit fungsi dengan nilai fungsinya

Dari langkah-langkah sebelumnya diperoleh bahwa

Kesimpulan:  f Tidak Kontinu (Atau Diskontinu) di x = 3. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 1.

Gambar 1

Catatan :

Diskontinuitas di x = 3 pada Contoh 1 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dengan mendefinisikan kembali nilai f di x = 3, fungsi tersebut menjadi kontinu. Jadi, agar f kontinu di x = 3, kita definisikan f (3) = 4.

KEKONTINUAN BEBERAPA FUNGSI

TEOREMA A:

Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan rill c. Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan rill c dalam  daerah daerah asalnya, yaitu kecuali di mana penyebutnya adalah 0.

$�$

TEOREMA B:

Fungsi nilai mutlak adalah kontinu di setiap bilangan rill c. Jika $n$ ganjil, fungsi akar ke $n$ kontinu di setiap bilangan rill $c$; jika $n$ genap fungsi ini kontinu di setiap bilangan rill positif $c$.

KEKONTINUAN DALAM OPERASI FUNGSI

TEOREMA C:

Jika $f$ dan $g$ kontinu di $c$, maka demikian juga $kf,f+g,f-g,f.g,f/g$ (asalkan $g\left(c\right)\ne 0$, $f^n$, dan $\sqrt[n]{nf}$ (asalkan $f\left(c\right)>0$ jika $n$ genap).

TEOREMA D: Kontinuitas Fungsi Trigonometri

$\mathrm{Fungsi\; sin}$ dan $\cos$ adalah kontinu di setiap bilangan rill $c$. Fungsi $\tan x,\cot x,\sec x$, dan $\csc x$ adalah kontinu di setiap bilangan rill $c$ pada daerah asalnya.

TEOREMA E: Teorema limit komposit

Jika $\underset{x\to c}{lim}g\left(x\right)=L$ dan jika $f$ kontinu di $L$, maka

Khususnya, jika $g$ kontinu di $c$ dan $f$ kontinu di $g\left(c\right)$, maka fungsi komposit $fog$ kontinu di $c$.

Kekontinuan pada selang

Kekontinuan pada selang selayaknya berarti kekontinuan di setiap titik dari selang tersebut. Itulah tepatnya apa yang diartikan untuk suatu selang terbuka $(a,b)$.

Fungsi $f$ adalah kontinu kanan di $a$ jika $\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right)$ dan kontinu kiri di $b$ jika $\underset{x\to b^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

Kita katakan $f$ adalah kontinu pada selang terbuka $(a,b)$ jika $f$ kontinu pada setiap titik $(a,b)$ dan $f$ kontinu pada selang tertutup $[a,b]$ jika $f$ kontinu pada $(a,b)$, kontinu kanan di $a$, dan kontinu kiri di $b$.

Sebagai contoh, pernyataan bahwa $f\left(x\right)=1/x$ kontinu pada $(0,1)$ dan bahwa $g\left(x\right)=\sqrt{x}$ kontinu pada $[0,1]$ adalah benar.

CONTOH 

Dengan menggunakan definisi di atas, uraikan sifat-sifat kekontinuan dari fungsi yang grafiknya disketsakan dalam Gambar.

Penyelesaian:

Fungsi itu kontinu pada selang terbuka $(-\infty ,0),(0,3)$, dan $(5,\infty )$ dan juga pada selang tertutup $[3,5]$.

TEOREMA F: Teorema Nilai Antara

Jika $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan jika $W$ sebuah bilangan antara $f\left(a\right)$ dan $f\left(b\right)$ maka terdapat sebuah bilangan $c$ di antara $a$ dan $b$, sedemikian sehingga $f\left(c\right)=W$.

Gambar dibawah menunjukkan grafik fungsi $f\left(x\right)$ yang kontinu pada $[a,b]$. Teorema Nilai Antara mengatakan bahwa untuk setiap $W$ dalam $\left(f\right(a),f(b\left)\right)$ pasti ada sebuah nilai $c$ pada $[a,b]$ sehingga $f\left(c\right)=W$.

Dengan kata lain, $f$ mengambil setiap nilai antara $f\left(a\right)$ dan $f\left(b\right)$. Kekontinuan diperlukan untuk teorema ini, jika tidak demikian mungkin akan ditemukan sebuah fungsi $f$ dan bilangan $W$ antara $f\left(a\right)$ dan $f\left(b\right)$ di mana tidak terdapat $c$ dalam $[a,b]$ yang memenuhi $f\left(c\right)=W$.