LIMIT FUNGSI LANJUTAN

 

Membuktikan  adanya  limit  dengan  menggunakan  definisi  sebelumnya memerlukan waktu dan juga sulit. Oleh karena itu, untuk mengatasi ini akan dibahas beberapa teorema  (tanpa  bukti)  yang  dapat  menangani  hampir  semua  masalah  limit  yang  akan dihadapi. 

TEOREMA LIMIT

Teorema A: Teorema Dasar Limit
Jika n bilangan bulat positif, k konstan, f dan g fungsi yang mempunyai limit di c, maka berlaku

contoh

Jika  ${}_{x\to a}^{lim}$ f(x)  = 3  dan  ${}_{x\to a}^{lim}$ g(x)  = 8, tentukan nilai dari  ${}_{x\to a}^{lim}\frac{f^2\left(x\right)-g\left(x\right)}{2f\left(x\right)+\sqrt[3]{3g\left(x\right)}}$
Jawab :
${}_{x\to a}^{lim}\frac{f^2\left(x\right)-g\left(x\right)}{2f\left(x\right)+\sqrt[3]{3g\left(x\right)}}$ = $\frac{{\left[{}_{x\to a}^{lim}f\left(x\right)\right]}^2-{}_{x\to a}^{lim}g\left(x\right)}{2{}_{x\to a}^{lim}f\left(x\right)+\sqrt[3]{3{}_{x\to a}^{lim}g\left(x\right)}}$
${}_{x\to a}^{lim}\frac{f^2\left(x\right)-g\left(x\right)}{2f\left(x\right)+\sqrt[3]{3g\left(x\right)}}$ = $\frac{3^2-8}{2.3+\sqrt[3]{38}}$
${}_{x\to a}^{lim}\frac{f^2\left(x\right)-g\left(x\right)}{2f\left(x\right)+\sqrt[3]{3g\left(x\right)}}$ = $\frac{1}{8}$

Teorema B:Teorema Substitusi
Jika f adalah fungsi polinom atau fungsi rasional dan f terdefinisi di c, maka$$\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=f\left(c\right)$$contoh
Jika f(x) = x³ − 3x, tentukan  ${}_{x\to 2}^{lim}$ f(x)
Jawab :
Perhatikan bahwa f(x) adalah fungsi polinom dan kita tahu bahwa fungsi polinom terdefinisi untuk setiap x bilangan real. Jadi, f(x) terdefinisi di 2, akibatnya
${}_{x\to 2}^{lim}$ (x³ − 3x) = 2³ − 3.2 = 2

Teorema C

Jika f(x) = g(x) ketika x ≠ c, maka$$\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to c}{lim}g\left(x\right)$$asalkan limitnya ada.

Contoh

Diketahui f(x) = $\frac{\left|x-1\right|}{x-1}$. Hitung  ${}_{x\to 1}^{lim}f\left(x\right)$ jika ada !

Jawab :
Berdasarkan definisi nilai mutlak :
|x − 1| = x − 1       jika x ≥ 1
|x − 1| = −(x − 1)  jika x < 1

Untuk x < 1, f(x) = $\frac{-(x-1)}{x-1}$ = -1, sehingga
${}_{x\to 1^{-}}^{lim}$ f(x) =  ${}_{x\to 1^{-}}^{lim}(-1)$ =  -1

Untuk x > 1, f(x) = $\frac{x-1}{x-1}$ = 1, sehingga
${}_{x\to 1^{+}}^{lim}$ f(x) =  ${}_{x\to 1^{+}}^{lim}\left(1\right)$ =  1

Limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
${}_{x\to 1}^{lim}\frac{\left|x-1\right|}{x-1}$ tidak ada

Teorema Apit
Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk setiap x di dekat a, kecuali mungkin di a.$$\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to c}{lim}h\left(x\right)=L\Rightarrow \underset{x\to c}{lim}g\left(x\right)=L$$

Contoh

Jika untuk setiap x berlaku  2x ≤ f(x) ≤ x² + 1, hitunglah  ${}_{x\to 1}^{lim}$ f(x)
Jawab :
2x ≤ f(x) ≤ x² + 1
${}_{x\to 1}^{lim}$ 2x  = 2 . 1 = 2
${}_{x\to 1}^{lim}$ (x² + 1)  = 1² + 1 = 2

Karena  ${}_{x\to 1}^{lim}$ 2x  = ${}_{x\to 1}^{lim}$ (x² + 1)  = 2, berdasarkan teorema apit kita simpulkan
${}_{x\to 1}^{lim}$ f(x)  = 2

Limit Tak Hingga

Limit tak hingga adalah pendekatan suatu fungsi pada suatu nilai yang besarnya tak terhingga, baik negatif tak terhingga maupun positif tak terhingga (-∞ sampai ∞).

    Hasil limitnya tak hingga

Penyelesaian limit di tak hingga

Untuk menyelesaikan limit menuju tak hingga, kita gunakan limir dasarnya yaitu:

dengan a bilangan real dan n bilangan asli

Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga menjadi rumus dasar di atas dengan cara : 1). Buat fungsinya menjadi bentuk pecahan, jika bentuknya dalam akar maka kalikan dengan bentuk sekawannya (merasionalkan). 2). Bagi variabelnya dengan pangkat tertinggi