Turunan Implisit dan Turunan TIngkat Tinggi

Dalam Persamaan

kita tidak dapat memecahkan y dalam bentuk x. Namun, boleh jadi masih tetap menjadi kasus, bahwa terdapat tepat satu y yang berkorespondensi terhadap masing-masing x. Misalnya, kita boleh menanyakan berapa nilai-nilai y (jika ada) yang berkorespondensi terhadap x=2 Untuk menjawab pertanyaan ini, kita harus memecahkan

Tentu saja, v=1 adalah satu penyelesaian, dan ternyata y=1 adalah satu- satunya penyelesaian real. Diberikan x=2. persamaan v^{3}+7v=x^{3} menentukan nilai y yang berkorespondensi. Kita katakan bahwa persamaan mendefinisikan y sebagai fungsi implisit x. Grafik persamaan ini, diperlihatkan dalam Gambar 1, tentu saja nampak seperti grafik suatu fungsi yang terdiferensiasikan. Elemen baru ini tidak berbentuk y=f(x) . Berdasarkan grafik, kita anggap bahwa y adalah sesuatu fungsi yang tidak diketahui dari x. Jika kita nyatakan fungsi ini oleh y(x), kita dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai

Walaupun kita tidak mempunyai rumus untuk y(x), kita masih tetap dapat memperoleh

kaitan antara x, y(x), dan y'(x), dengan mendiferensiasikan kedua ruas persamaan itu

terhadap x. Dengan menggunakan Aturan Rantai, kita peroleh

Perhatikan bahwa ekspresi kita untuk dy/dx melibatkan x dan y, suatu fakta yang

sering menyulitkan. Tetapi jika kita hanya ingin mencari kemiringan pada suatu titik

yang kedua koordinatnya diketahui, tidak ada kesukaran. Pada (2, 1),

Kemiringannya adalah 6/5

Metode yang baru saja diilustrasikan untuk mencari dy/dx tanpa terlebih dahulu

menyelesaikan secara gamblang persamaan yang diberikan untuk y dalam x disebut

diferensiasi implisit.

Untuk membuktikan fakta guna kebenaran metode tersebut, tinjau contoh berikut, yang dapat dikerjakan dalam dua cara.

CONTOH 1 Cari dy/dx jika 4x^2y-3y=x^3-1.

PENYELESAIAN

Metode 1 Kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk y secara gamblang sebagai berikut:

Metode 2 Diferensiasi implisit Kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari

Setelah menggunakan Aturan Hasil Kali pada suku pertama, kita peroleh

Dalam contoh-contoh berikut, kita anggap bahwa

persamaan yang diberikan menentukan satu atau lebih fungsi-fungsi terdiferensiasi

yang turunan-turunannya dapat dicari dengan diferensiasi implisit. Perhatikan bahwa dalam tiap kasus, kita mulai dengan mengambil turunan tiap ruas persamaan yang diberikan terhadap variabel yang sesuai. Kemudian kita gunakan Aturan Rantai seperti yang diperlukan.

CONTOH 2 Cari dy/dx jika x^2+5y^3=x+9.

PENYELESAIAN

CONTOH 3 Cari persamaan garis singgung pada kurva

y^3-xy^2+cos xy=2 di titik (0, 1).

PENYELESAIAN

Untuk menyederhanakannya, kita gunakan notasi y untuk dy/dx. Ketika kita mendiferensiasikan kedua ruas dan menyamakan hasilnya, kita peroleh

Di titik (0,1),y'= 1/3. Sehingga persamaan garis singgung di (0, 1) adalah

Komentar

Postingan populer dari blog ini

LIMIT FUNGSI BERNILAI REAL

Limit fungsi adalah sebuah konsep yang ada pada pelajaran matematika, limit biasanya digunakan untuk menerangkan suatu sifat dari suatu fungsi. Seperti halnya pada saat sebuah argumen hampir mendekati suatu titik tak terhingga atau juga sifat dari suatu barisan saat indeks hampir mendekati titik tak terhingga. Pada umumnya limit digunakan pada materi kalkulus dan juga cabang lain dari matematika yang berfungsi untuk mencari suatu turunan dan juga lanjutan. DEFINISI LIMIT S ecara umum limit didefinisikan jika f adalah fungsi yang telah didefinisikan oleh suatu interval terbuka dan mengandung a (dengan adanya kemungkinan pengecualian pada titik a) dan juga L merupakan bilang real. Limit adalah suatu batas yang menggunakan konsep pendekatan fungsi . Jadi, bisa dibilang limit adalah nilai yang didekati fungsi saat suatu titik mendekati nilai tertentu. Dengan menggunakan rumus matematika di atas maka kita bisa membuat nilai f(x) menjadi sedekat mungkin dengan nilai L dengan cara membuat

Baca selengkapnya

KEKONTINUAN FUNGSI

Berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), arti kata kontinu adalah berkesinambungan; berkelanjutan dan terus-menerus. Jadi maksud kontinu itu tidak terputus. Fungsi kontinu dalam matematika merupakan fungsi, yang jika di jelaskan secara intuitif, perubahan kecil dalam masukannya berakibat perubahan kecil pula pada keluaran. DEFINISI KEKONTINUAN FUNGSI Fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c . Fungsi f dikatakan kontinu di c jika limit Kali ini kita akan mempelajari Penerapan Limit lainnya yaitu Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi. Fungsi f(x) dikatakan Kontinu pada suatu titik x = a jika : f(a) ada ada Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan Tidak Kontinu di x = a. Keterangan: f(a) ada, maksudnya nilai fungsinya terdefinisi di x = a (bisa dihitung). ada, maksudnya besar limit kiri dan limit kananya adalah sama. , maksudnya nilai limit dan fungsinya sama. CONTOH Misalkan f suatu fungsi d

Baca selengkapnya

LIMIT FUNGSI LANJUTAN

Membuktikan adanya limit dengan menggunakan definisi sebelumnya memerlukan waktu dan juga sulit. Oleh karena itu, untuk mengatasi ini akan dibahas beberapa teorema (tanpa bukti) yang dapat menangani hampir semua masalah limit yang akan dihadapi. TEOREMA LIMIT Teorema A: Teorema Dasar Limit Jika n bilangan bulat positif, k konstan, f dan g fungsi yang mempunyai limit di c, maka berlaku contoh Jika l i m x → a x → a l i m f(x) = 3 dan l i m x → a x → a l i m g(x) = 8, tentukan nilai dari l i m x → a f 2 ( x ) − g ( x ) 2 f ( x ) + 3 √ g ( x ) x → a l i m f 2 ( x ) − g ( x ) 2 f ( x ) + g ( x ) 3 Jawab : l i m x → a f 2 ( x ) − g ( x ) 2 f ( x ) + 3 √ g ( x ) x → a l i m f 2 ( x ) − g ( x ) 2 f ( x ) + g ( x ) 3 = [ l i m x → a f ( x ) ] 2 − l i m x → a g ( x ) 2 l i m x → a f ( x ) + 3 √ l i m x → a g ( x ) [ x → a l i m f ( x ) ] 2 − x → a l i m g ( x ) 2 x → a l i m f ( x ) + x → a l i m g ( x ) 3 l i m x → a f 2 ( x ) − g ( x ) 2 f ( x ) +

Baca selengkapnya

GHEFIRA ARIQAH NASYWA PENDIDIKAN MATEMATIKA A11

Cari Blog Ini